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题目要求

Given two words word1 and word2, find the minimum number of steps required to convert word1 to word2. (each operation is counted as 1 step.)

You have the following 3 operations permitted on a word:

a) Insert a character
b) Delete a character
c) Replace a character

输入两个字符串word1和word2，允许对word1进行插入，删除和替换的操作，计算出将word1转化为word2所需要的最少的操作数。

思路

这是一道典型的dynamic programming的题目，这里我们利用二维数组steps来存储相应的情况。其中steps[i][j]存储的是word1[0..i-1]转换为word2[0..j-1]的最小步数。那么如何计算steps[i][j]呢。
首先从边缘情况开始考虑。

如果i=0，也就是word1=“”,那么将word1转化为word2的最少操作数为j
同理，如果j=0，也就是word2=“”，那么将word2转化为word1的最少操作数为i

这时我们再考虑i，j都不为0的情况。
可能出现以下几种情况：
1.word1[i-1]==word2[j-1]
如果下标相等，那么steps[i][j]=steps[i-1][j-1]。从语义的角度上来说，假设已知将word1[0…i-2]转化为word2[0…j-2]的最小操作数，那么如果彼此下一个值相等，则无需进行操作。
2.word1[i-1]!=word2[j-1]

插入：在word1[i-1]的位置上插入word2[j-1],也就是说word1[0…i-1]=word2[0…j-1],steps[i][j]=steps[i][j-1]+1
替换：将word1[i-1]的值替换为word2[j-1]。steps[i][j]=steps[i-1][j-1]+1
删除：将word1[i-1]的值删除使word1[0…i-2]等价于word2[j-1], steps[i][j] = steps[i-1][j]+1
在这里解释一下插入和删除的算法的原理。
如果插入即可使word1[0…i-1]转化为word2[0…j-1]，那么意味着word[0…i-1]可以转换为word2[0…j-2]。只要在此基础上再进行一次插入操作即可以完成转换。所以steps[i][j]=steps[i][j-1]+1
删除操作同理，word[0…i-2]可以转化为word[0…j-1]，只需要再此基础上再进行一次删除操作即可，所以steps[i][j] = steps[i-1][j]+1

代码

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public int minDistance(String word1, String word2) {
    if(word1.isEmpty()) return word2.length();
    if(word2.isEmpty()) return word1.length();
    int[][] steps = new int[word1.length()+1][word2.length()+1];
    for(int i = 0 ; i<=word1.length() ; i++){
        for(int j = 0 ; j<=word2.length() ; j++){
            if(i==0){
                steps[i][j] = j;
            }else if(j==0){
                steps[i][j] = i;
            }else if(word1.charAt(i-1) == word2.charAt(j-1)){
                steps[i][j] = steps[i-1][j-1];
             }else{
                 steps[i][j] = Math.min(Math.min(steps[i][j-1]+1, steps[i-1][j-1]+1), steps[i-1][j]+1);
             }
                
        }
    }
    return steps[word1.length()][word2.length()];
}

优化后的代码如下：

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public int minDistance2(String word1, String word2){
    if(word1.isEmpty()) return word2.length();
    if(word2.isEmpty()) return word1.length();
    int[] steps = new int[word2.length()+1];
    for(int j = 0 ; j<=word2.length() ; j++){
        steps[j] = j;
    }
    for(int i = 1 ; i<=word1.length() ; i++){
        int pre = steps[0];
        steps[0] = i;
        for(int j = 1 ; j<=word2.length() ; j++){
            int temp = steps[j];
            if(word1.charAt(i-1)==word2.charAt(j-1)){
                steps[j] = pre;
            }else{
                steps[j] = Math.min(pre+1, Math.min(steps[j]+1, steps[j-1]+1));
            }
            pre = temp;
        }

    }
    return steps[word2.length()];
}